Elemi dolgok I.
| „Ismerd meg önmagad“ <br /><br /> Alcìmnek a Delphoi-i Apollòn-jòsda kettös èrtelmü feliratàt vàlasztottam, mert amikröl itt szò lesz, azok mind sajàt gondolataid közül tünnek elö. Nekem csak az a szerepem, hogy a sajàt gondolatvilàgod tèrkèpèn tàvirànyìtàssal navigàljalak el nèhàny jò helyre, amit ismerek. Egyfajta, furcsa programajànlò, olyan ùticèllal, amiröl szìvesen hiszed azt, hogy közönsèges tèrkèpen talàn rajta sincs, vagy a tiedröl lefelejtettèk, vagy csak a mesèben lètezik, ès el sem lehet jutni oda. Pedig, szàmtalanszor lògtunk arrafelè csak ùgy, de hiàba mentèl el mindannyiszor mellette, nem fedezted fel magadnak. Règ volt, màr nem is hiànyzik, hogy oda visszatalàlj. Föleg, nem is elèg egzotikus, nem lehet mesèlni ròla tàrsasàgban, semmi kaland, nem dicsekedhetsz az ùti èlmènyeiddel, mert csak egy olyan hely, ahova kivisz a helyijàrat is. Mègis èrdemes lenne felkeresni, mert egyszer talàn, elszalasztottàl ott valami fontosat. Az a bibi, hogy a tèrkèp, amin meg kell mutatnom a helyet nem nàlam van, hanem nàlad, ès csak te làtod. Hülye pròbàlkozàs. Nem is müködne, ha nem lennèk biztos abban, hogy a tèrkèped ugyanazt a vidèket mutatja, mint az enyèm. Gondolatban sokszor bejàrom az odavezetö utat, aminek a fontos tàjèkozòdàsi pontjai màr csecsemökorunkban kitörölhetetlenül ràkerültek a belsö tèrkèpeinkre. Aki a bonyolult dolgokban leli örömèt vagy magasröptü eszmefuttatàsokat kedvel inkàbb, annak kiàbràndìtò lesz, hogy közönsèges dolgok között vezet az ùt, ahol minden làtnivalò hètköznapi. Olyan dolgokat vizsgàlgatunk, amikkel felnött embernek foglalkozni, hàt bizony ègö. A XIV., XV. szàzad nagy festömüvèszei tudtàk, hogy valòdi mesteremberek csak ùgy lehetünk, ha ismerjük a vàszon anyagàt, szövèsèt, ès festèkeinknek nemcsak a hajszàlpontos szìnàrnyalatàt, de csukott szemmel, ìzröl felismerjük mèg azt a földet is, amiböl mozsarunkban a festèket kikeverjük. Ma is szüksèg lesz erre a földközelisègre, ha kutatni kezdjük, hogy milyenek azok az elemi dolgok, amikböl vilàgunk felèpül. <br /><br /> A stabilitàsròl. <br /><br /> Mit kell tudnia egy, elemi rèszecskènek? Hàt, pl. lennie kell, lèteznie, tartòsan, stabilan. Szinte, ez az egy elvàràs vele szemben, azon kìvül, hogy minden dolgok mèlyèn ö legyen jelen. A stabilitàs persze, elèg viszonylagos. Egy kö, ha nem is örökèletü, de nyugodtan mondhatjuk, hogy elèg maradandò valami. Pedig, ha jobban megnèzzük, minden alkotòrèsze villàmgyorsan mozog, az atomjai sohasem àllnak egyhelyben. Ezt a folytonos mozgàst viszont, ùgy csinàljàk, hogy nem repülnek szanaszèt egymàstòl, a kö egyben marad, mert az atomjai a nagyon gyors rezgèsük soràn, mindig visszatèrnek ugyanarra a helyre - ezèrt hìvjuk a mozgàsukat rezgèsnek. A stabilitàs tehàt, nem teljes mozdulatlansàgot, vàltozatlansàgot jelent, de a mozgò, vàltozò rèszeknek rendszeresen vissza kell tèrniük ugyanabba az àllapotba. Ismerös - nem? Eleinte azt gondoltuk, nagyon fontos, hogy mindig ottlegyen - kèsöbb ràjövünk màr, hogy nem is annyira. A rèszecskèk stabilitàsànàl legalàbbis, ìgy van ez. Gondoljuk csak ezt àt mèlyebben, mert ha porig ègne a hàzunk, - ami sose törtènjen, de ha mègis -, akkor tuti, hogy a biztosìtò emberèböl kibùjik a filozòfus. Ne èrjen vàratlanul, amikor elmagyaràzza, hogy anyagi kàrunk nincs, mert a hàzunk anyagi rèszecskèi az utolsò atomig hiànytalanul mind megvannak a Föld valamely pontjàn, ès a jövöben elöfordulhat, hogy vèletlen mozgàsaik folytàn èppen egyszerre talàlnak ide megint a kert vègèbe, ès ismèt èlvezhetjük az otthonunk kènyelmèt. Ilyenkor bìzvàst felajànlhatjuk, hogy kamatos büntetö kamattal együtt fizetjük vissza a biztosìtàsi összeget, amennyiben a kègli esetleg ùjra megjelenne az üszkös telken. Mèg, ha ilyen elemi kàr nem is èr bennünket, az otthonteremtèst akkor se alapozzuk arra, hogy a szomszèd kerületben leègett hàromszintes villa esetleg a mi ingatlanunkon fog reinkarnàlòdni. A hàz minden atomjànak egyenkènt is szinte vègtelen sok àllapota, helye lehet, ami az ilyen spontàn visszarendezödèst kizàrja. Pedig, milyen szèp lenne! Ìgy, ha öröklakàst nem is, de legalàbb azt a fontos tanulsàgot nyertük, hogy a dolgok àllhatatlan v. stabil termèszete nagyon is függ attòl - söt, talàn csak attòl függ -, hogy a rèszeinek sok v. kevès àllapota lehet, ès elèg sürün visszakerülnek-e ugyanabba az àllapotba. Lakàsproblèmàkkal tovàbb nem foglalkozom, megszabadulva a piszkos anyagiaktòl, egy tiszta ès szèp elmèlet felèpìtèsèhez fogunk hozzà az eddig szerzett tapasztalatok alapjàn. Làttuk, h. mennyi bajt okoz, ha a rèszek tùl sok lehetösèget kapnak, sokfèle különbözö àllapotba kerülhetnek. Tüzkàr esetèn ezèrt nem stabil a hàzunk. Itt nem ilyen bizonytalan tàkolmànyt szeretnèk összehozni. Annak a valaminek, amiböl a sajàt konstrukciònkat felèpìtjük, a neve mindegy. Az sem lènyeges, hogy minek nevezzük a lehetsèges àllapotait. Lehetnek ezek különbözö tèrbeli helyzetek, vagy bàrmi màs, ez a fantàziànkra van bìzva - egy a lènyeg, hogy kevès àllapota legyen, mert ettöl lesz bombabiztos a szerkezet. <br /><br /> Tojòtyùkokròl ès màs baromfiakròl <br /><br /> Nèzzük, mit kezdhetnènk kèt àllapottal. Nevezzük ezeket tyùk àllapotnak ès tojàs àllapotnak. Ez a tyùkfèlèk kèt àllapota, de ugyanìgy kètàllapotù rendszert demonstràlnak a kìgyòk, teknösök, sok rovar, növènyek vàltakozò ivaros ès ivartalan nemzedèke ès mèg egy csomò szemlèletes pèlda. A tyùkalakùak (Galliformes) rendje biztosan kipusztulna, ha a tojàsbòl nem kelne ki tyùk, vagy a tyùkok nem tojnànak tojàst, tehàt ennek az àllatcsoportnak a stabil fennmaradàsàhoz nèlkülözhetetlen, hogy a tojàs àllapotbòl legyen àtmenet a tyùk àllapotba, a tyùk àllapotbòl pedig, a tojàs àllapotba. Az àbràzolàshoz, a rövidsèg kedvèèrt jelöljük a tojàs àllapotot 0-val, a tyùk àllapotot 1-gyel. <br /><br /> Ezek szerint, ìgy kel ki a kiscsibe:. ...ès.... ìgy tojik a tyùk: 0 <br /> 1 <br /> 0 <br /> 1 <br /> 1. àbra 2. àbra A kètfajta lèpès sorbakapcsolàsa biztosìtja a faj fennmaradàsàt, hogy a Gallini nemzetsèg generàciòinak vègelàthatatlan sora kapirgàlhasson dzsungelszerte ès a tràgyadombokon - na ès, h. ràntottcsirke kerüljön az asztalunkra, ami föleg ösztönözte ennek a tojatàsi elmèletnek a kimunkàlàsàt. Mi màson jàrna az eszünk, mint a szaporodàson, ès azon, h. mit eszünk. Rugaszkodjunk el ismèt a rùt, materiàlis vilàgtòl, - ès, hogy ne mindig a hasunkra gondoljunk, nèzegessük kicsit a folyamat sèmàjàt. Adott egy elemi folyamat, a "kikelès", amit a 0 jelü, "tojàs" kezdeti àllapotbòl az 1 jelü, "tyùk" àllapotba vezetö nyìl àbràzol. Ezen kìvül, van egy "tojàsrakàs" folyamat, ami itt, a 2. àbràn az 1 jelü "tyùk" àllapotbòl a 0 jelü, "tojàs" vègàllapotba mutatò nyìl. A faj fennmaradàsànak reprezentàlàsàhoz a nyilakat ùgy kellett egymàshoz kapcsolni, hogy azonos irànyba mutassanak, ès azonos jelü vègekkel csatlakozzanak egymàshoz. Ìgy a tojàs-tyùk-tojàs-tyùk.... àllapoptok szabàlyosan vàltakozò soràt kapjuk, pontosan ùgy, mint a legvalòsàgosabb tyùkudvarokon, ha manapsàg mèg kotlanak egyàltalàn a falusi tyùkok. 1 0 0 1 <br /><br /> 3. àbra <br /><br /> Vegyük èszre, hogy a kètfèle nyil között az teszi a különbsèget, hogy amelyik àllapot az egyik fajta nyìlnak a kezdöpontja, az a màsik fajta nyìlnàl a vègpont, ès vice versa. Ez az egyetlen fontos különbsèg közöttük, ès elvonatkoztathatunk a folyamatot szimbolizàlò nyìl nevètöl, ès minden egyèbtöl. Ennek megfelelöen, 0-bòl 1-be, ès 1-böl 0-ba vezetö nyilak vannak, ahol a 0 ill. 1 ezutàn egyszerüen csak annyit jelentsen, hogy a nyìl kezdöpontja ill. vègpontja. Az összekapcsolàsuk szabàlya pedig az, hogy kèt nyilat mindig különbözö jelü vègükkel illesszünk egymàshoz, tehàt egy nyìl vègpontjàhoz a következö nyìlnak mindig a kezdöpontja èrintkezik. Ez màr maga utàn vonja, hogy az összekapcsolt nyilak ugyanabba az irànyba fognak mutatni. A sort azonban, akàrmeddig folytathatjuk, a legelejèn ès a legvègèn szabadon àllò, szabàlysèrtö nyìlvèg marad, amihez nem illeszkedik következö. Ezen segìthetünk, ha a kèt szèlsö nyìlvèget egymàshoz illesztjük, ès ìgy egy nyilakbòl àllò kört formàlunk. Ebben az alakzatban màr hiànytalanul èrvènyesül az a szabàly, h. minden nyìlvèg egy màsik nyìl, ellentètes jelü vègèhez èrintkezik. A legkisebb ilyen kört kèt nyìl alkotja, ez a tyùkok fennmaradàsànak tömör összefoglalò sèmàja: <br /><br /> 1 0 <br /><br /> 4. àbra <br /><br /> A tojàsbòl tyùk lesz, a tyùkbòl ùjra tojàs, ès ha ìgy haladna körbe-körbe a vègtelensègig, akkor a tyùkok nemzetsège az örökkèvalòsàgig stabilan fennmaradna. Logikus, a fejlödès minden màsodik lèpèsben visszatèr ugyanabba az àllapotba, ez a szàrnyasok lètezèsènek garanciàja. <br /><br /> Götèk, varangyok vagy inkàbb lepkèk ès viràgok <br /><br /> Az elmèleti fizikusok szàmàra a tyùkok is figyelemre mèltò lènyek, örömmel meditàlnak azon, hogy vajon, a tyùk lètezett elöbb, avagy a tojàs, de szìvükbe mègis, a varangyok loptàk be magukat igazàn, hiszen velük könnyen szòtèrtenek. Ezek a kètèltüek kicsit raccsolva, de szabatosan fejezik ki magukat a modern fizika nyelvèn: kvaak, kvaak, kvaak - ès ezt ök màr jòval a fizikusok elött tudtàk. A fejlödèsmenetük is igazàn rejtèlyes, ès sok talàlgatàsra ad okot. Amìg a peteà-ebihal, az ebihalàbèka àtalakulàs, majd pedig, a petèzö bèka közönsègesen megfigyelhetö minden pocsolyàban, addig arròl, hogy mièrt olyan ritka az antibèka az Univerzumban - màig csak teòriàk làttak napvilàgot. Tulajdonsàgaikat pontosan megjòsolja a modell, de mèg egy fia bèkàt sem làttak petèböl kikelni, hogy azutàn a bèka ebihallà fejlödjön, ès vègezetül a petèket rakò ebihal zàrja a körfolyamatot. Vèlekedèsek szerint, ha a petèkböl ebihal kelne ki, majd az ebihal azon mòd lepetèzne, akkor ez minden bèka katasztrofàlis pusztulàsàval jàrna. Erre a tisztàzatlan kèrdèsre vàlaszt adhat a bèkàk ès a feltètelezett antibèkàk fejlödèsmenetènek elemzèse. Mègha a bèka à kiràlyfi àtalakulàsi lehetösègtöl el is tekintünk, a bèkàk egyedfejlödèsènek hàrom, nagyon eltèrö àllomàsa van. Az egyedfejlödèsük diagramjàn a pete, ebihal ill. a kifejlett bèka alaknak legyen egy-egy szàm a jele: pete(0), ebihal(1), bèka(2). Az èletciklus hàrom àllapota között az àtmeneteket nyilak jelölik. A pete(0) àebihal(1) àtalakulàst 0 à1, az ebihal(1) àbèka(2) àtalakulàst 1 à2, vègül a bèka(2) àpete(1) lèpèst 2 à0 nyìl jelölje, ahogyan ez a 5. àbràn làtszik. 6. àbra <br /><br /> 5. àbra <br /><br /> 1 0 2 1 0 2 1 0 2 7. àbra <br /><br /> A madarakhoz kèpest ùjdonsàg, hogy a bèka èletciklusàban van egy körüljàràsi iràny, ami az antibèkàban az ellenkezöjère fordul, mert minden àtalakulàs az ellenkezö irànyù bennük. Ezt tükrözi a normàl bèka 5. àbràn làthatò, ès az antibèka 6. àbràn bemutatott èletciklusànak diagramja. A 7. àbra együtt mutatja a normàl- ès az antibèka àtalakulàsi lèpèseit, ennek megfelelöen az àllapotok között mindkèt irànyban lehetsèges az àtmenet. <br /><br /> A petèböl kibùjhatott volna egy hernyò, amit bebàbozòdàs utàn tarka lepkekènt pillanthatunk meg a negyedik àllapotàban, egy nyàri rèt virìtò viràgtengere fölött, amelyröl tudnivalò, hogy szìnpompàja èppen annak a sorsdöntö alkalomnak, a diploid testekben szunnyadò haploid nemzedèk nagy àllapotvàltozàsànak misztèriumàt bevezetö elöadàs kellèke, amiben az a kis lepke nem csak pompàjàval statisztàl. Szìnezhetem èn akàrhogy a kapcsolatrendszereket leìrò tiràdàkat, akkor sem csodàlkozom, ha valaki hètköznapi, èrdektelen dolgokkal valò foglalatossàgnak tartja, ès azzal jön, hogy ezekre a nyilvànvalòsàgokra felesleges ennyi szòt vesztegetni. Mèg egy kis türelmet kèrek, mert a sakktàblàt is el kell magyaràznom, ès azutàn meglàtjuk, hogy felesleges szòcsèplès-e a közönsèges ismereteket tovàbb ragozni. <br /><br /> Az üres szàmtanfüzetekröl <br /><br /> A sakktàblàròl leleshetünk egy mòdszert, ahogyan egybevàgò nègyzetekkel hèzagmentesen kitapètàzhatnànk a sìknak egy tetszölegesen nagy kiterjedèsü tartomànyàt, ha egyszer erre lenne szüksègünk. Annyit figyeljünk csak meg, hogy a kis nègyzetek közül mindig nègynek a csùcsa èrintkezik egymàshoz a tàblàn, mègpedig mindig 4 különbözö nègyzetnek a csùcsa, mert egy nègyzet sajàt csùcsai nem èrhetnek egymàshoz. Ez termèszetesnek làtszik, de azèrt fontos megjegyezni. Azt is jò lesz èszben tartani, hogy a csùcsok èrintkezèsènèl mindig 4 "különbözö" csùcs talàlkozik, tehàt egy bal alsò, egy bal felsö, egy jobb alsò ès egy jobb felsö àllàsù csùcs. Összefoglalva: minden nègyzetnek 4 csùcsa van, az èrintkezèsi pontokban 4 különbözö nègyzetnek, 4 különbözö àllàsù csùcsa illeszkedik egymàshoz a szabàlyos, hèzagmentesen kitöltött sìktartomànyon, pl. egy sakktàblàn belül. Az 1 dimenziòs egyenes egy összefüggö darabjàt lefedö szakaszoknàl egyszerübb a helyzet. Minden szakasznak 2 csùcsa van, az èrintkezèsi pontokban 2 különbözö szakasznak 2 különbözö àllàsù, egy jobb ill. bal oldali csùcsa èrintkezik egymàshoz. <br /><br /> Ebben a rèszben megint nem tanultunk semmit sem, mert ennyit màr egy òvòdàs is tud, ès pontosan ennek megfelelöen pakolja vissza az èpìtökockàit egymàs mellè a dobozba, meg màr azt is èszrevette règ, hogy màskènt nem sikerül becsukni a fedelèt. A kisiskolàsoknàl pedig ez az alap, ès annak a diàknak is benne van az üres szàmtanfüzetèben, aki mèg egyetlen feladatot sem oldott meg. Lehet, hogy jobban is jàr, ha a dolgozatìràs helyett csak maga elè mered ès elmèlyülten kitanulmànyozza az üres kockàs papìrt. <br /><br /> Megj.: A csùcsok 0 dimenziòsak (pontok), a sìk pedig, amit a nègyzetekkel kitöltünk, 2 dimenziòs, amiböl könnyen levezethetö, hogy èppen 4 nègyzetnek kell a sarkoknàl összeèrni, ha szabàlyos ès hèzagmentes lefedèst akarunk elèrni. Az oldalàval mindig 2 nègyzet sìmul egymàshoz. A kockàkkal szabàlyosan ès hèzagmentesen kitöltött hàromdimenziòs tèrben csùccsal mindig 8 kocka èr össze, èllel 4, lappal pedig 2, de nekünk ezeknek a szàmolgatàsàra nem lesz szüksègünk, ennyire ne mèlyedjünk bele, mert vègig megmaradunk az egydimenziòs jelensègeknèl. A kockàk kombinatorikai mòdszerrel magasabb dimenziòkban is jòl kezelhetöek, ès, a hatàrfelületeik szàma, mindenfèle egyèb tulajdonsàguk egyszerüen kiszàmìthatò, ha valakit ez izgat. <br /><br /> Mindenfèle vàltozàsokròl <br /><br /> A bèkàknàl is, madaraknàl is a fejlödèsi program biztosìtja, hogy rendszeresen visszatèrjenek nàluk ugyanazok a fejlödèsi àllapotok de, ennek nem muszàj programozottan folyni. Vizsgàlhatnànk az anyagok halmazàllapotait is, amiknek az egymàsba alakulàsàt nem egy program, hanem a környezet hömèrsèklet- ès nyomàsviszonyai kènyszerìtik ki. Termèszetesen, a program hiànya nem vàltoztat azon a tènyen, hogy a vizet a Földön a hàrom halmazàllapot valamelyikèben fogjuk talàlni. Ennek az az oka, hogy ilyen körülmènyek között a hàtrom halmazàllapotàn kìvül nincsen màs lehetösèg a szàmàra. A vìznek a hömèrsèklettöl függö halmazàllapotvàltozàsairòl, mondjuk, 1 atm lègköri nyomàson, ugyanùgy egyszerü diagramot kèszìthetnènk, mint a tyùkròl ès tojàsròl vagy az ebihalakròl az elöbb, csakhogy itt a szilàrd, folyèkony ès lègnemü lenne a hàrom feltüntetett àllapot. Ennyi erövel persze, kèszìthetnènk diagramot az otthonuk ès munkahelyük között ingàzòk hètköznapi helyvàltoztatàsàròl, vagy alvàsròl-èbrenlètröl, vagy bàrmi màsròl, mert semmi sincs, ami folyamatosan ugyanabban az egy àllapotban marad. Az is igaz viszont, hogy minden dolognak megvannak a rà jellemzö àllapotai ès àllapotvàltozàsai. Enèlkül a stabilitàs nèlkül nem lenne semmilyen azonosìtàsra alkalmas tulajdonsàguk sem. Gondoljunk a leègett hàzra, aminek hiàba van meg hiànytalanul minden atomja, mègsem nevezhetjük màr hàznak, miutàn azok a jellemzö kötöttsègeikböl kiszakadva, szètfüstöltek a lègkörben, ami egy egèszen ùj àllapota a hàzunknak - annyira, hogy màr nincs is hàzunk. <br /><br /> Vàltozàstèr <br /><br /> Èrtelmetlen lenne èlök ès èlettelenek sokasàgàròl sorozatban tovàbbi diagramokat rajzolni. A kifogyhatatlan egyedi esetek bemutatàsàbòl ennyi elèg. Annàl is inkàbb, minthogy a törtènet nem az àllatok, növènyek ès fizikai entitàsok különös àllapotvàltozàsairòl szòl, hanem magukròl a vàltozàsokròl, a vàltozàsok ès a vàltozatlansàg àltalànos lehetösègeiröl. Mindent tudunk màr ahhoz, hogy a sok egyszerü vàltozàst együttesen, ès a belölük kialakulò összhatàst figyeljük meg. Ennek èrdekèben, èpìtsünk fel egy olyan teret, ahol vàltozàsok zajlanak. Megjegyzem, hogy a tèr egy jòl meghatàrozott matematikai fogalom, ès ilyen èrtelemben csak akkor nevezhetö tèrnek valami, ha rendelkezik nèhàny egyszerü tèrtulajdonsàggal. Aminek a szerkesztèsèt elvègezzük, arròl most nem fontos tudnunk, hogy valòjàban tèr-e, ezèrt csak a hètköznapi èrtelmèben hasznàlom ezt a fogalmat egy olyan szerkezetre, ami àllapotokat reprezentàlò pontokbòl, ès az àllapotok közötti àtmeneteknek megfelelö vonalakbòl èpül fel. <br /><br /> Legyen most a szerkesztès alapeleme a legàltalànosabb 3 àllapotù àtalakulàsi rendszer, amelyben minden àllapotàtmenet megengedett. Ezt a 7, àbràn làthattuk màr. Külön èrdekessège ennek az elemi àllapotrendszernek, hogy felfoghatò egy vonalszakasz àltalànosìtàsakènt is. A vonalszakaszoknak 2 vègpontja, csùcsa van, ès 2 irànyban mozdulhatunk el rajtuk – az egyik vègponttòl a màsik irànyàba vagy fordìtva. A 3-àllapotù rendszer annyiban különbözik ettöl, hogy 3 egyenrangù vègpontja van, de mindegyik vègpontja ugyanùgy közvetlen összeköttetèsben van minden màs vègponttal, mint ahogyan a szakasz kèt vègpontjàt is egy vonal köti össze. Ezekböl a “3-vègü szakaszokbòl” ugyanolyan szabàlyok szerint èpìtkezhetünk, mint amik szerint szakaszokbòl hosszabb vonalat, nègyzetekböl egy kiterjedtebb sìkrèszt vagy kockàkbòl egy nagyobb tèrrèszt rakhatunk ki. Az összeillesztès szabàlyàt màr megàllapìtottuk. <br /><br /> Az ilyen tèrnek csak a lerajzolàsàval lesz egy kis gond, mert az egymàshoz kapcsolt hàromszögletes elemek rajzàn àttekinthetetlenül összekuszàlòdik a sok vonal. Ùgy segìthetünk ezen, ha az elemi hàromszögek àbràzolàsàt lènyegretöröen leegyszerüsìtjük. A hàromszögàbra csùcspontjaira szüksègünk van, mert ezek szimbolizàljàk a 3 egymàsba alakìthatò àllapotot. A hàromszög oldalaira is szüksèg van, mert ezek biztosìtjàk az összeköttetèst az àllapotok között, velük jelöljük az àtalakulàsi lehetösègeket. A hàromszögek “belsejère” viszont nincs szüksèg, ezèrt tüntessük el ùgy, mintha vàkuumot teremtenènk a hàromszög belsejèben, ès beszìvnànk közèpre az oldalait. A hàromszögböl egy tyùklàbszerü idom marad, ami megörzi a lènyeget, de àttekinthetöbbek lesznek a rajzaink. A hàromszögàbràzolàs a 8 / A àbràn, a neki megfelelö idom pedig a 8 / B àbràn làthatò. 1 0 2 1 0 2 <br /><br /> 8 / B àbra <br /><br /> 8 / A àbra <br /><br /> 1 0 2 8 / C àbra <br /><br /> Mègegyszer: az idomok 3 csùcsa 3 àllapotnak felel meg, amiket 0, 1, 2 szàmokkal jelöltünk. Az àtalakulàsokat az egyik àllapotbòl valamely màsik àllapotba, annak feleleltetjük meg, hogy eljutunk az egyik csùcsbòl valamely màsik csùcsba, az öket összekötö vonal mentèn haladva. A 8 / C àbràn ezt be lehet gyakorolni. Az idomokat tetszès szerint nyùjthatjuk, hajlìtgathatjuk, csak megszakìtani nem szabad a vonalait, mert ezzel megszüntetnènk a kapcsolatot valamely kèt àllapot között. <br /><br /> Kilistàztam, hogy milyen àtalakulàsok törtènhetnek a 3 àllapotù elemi rendszerben. A 0 jelü àllapotbòl eljuthatunk az 1-esbe, az 1-esböl a 2-esbe, a 2-esböl a 0 jelübe, az öket összekötö vonalakon az òramutatò jàràsirànyàval ellentètesen haladva. Ezt a körbejàràsi irànyt szokàsosan + körüljàràsnak nevezik. A 8 / C àbràn az idom mellett vèkony szìnes nyilak jelzik a vègponttòl vègpontig vezetö + körüljàràsi irànyù lèpèseket. Annak, hogy a nyilak közèpen megtörnek, nincs jelentösège. Az idomainkon lèpkedhetünk az òramutatò jàràsàval egyezö irànyban is, a 0à2, 2à1, 1à0 lèpèsekkel, a 8 / C àbra nyilaival ellentètesen. 3 lèpèssel teljesen körbejàrjuk az idomot pozitìv vagy negativ körüljàràsi irànyban, tehàt minden lèpès 1/3 kör szögelfordulàssal jàr az idom központja körül. A 6 különbözö lèpèslehetösèget, körüljàràsi iràny szerint csoportosìtva tartalmazza az 1. tàblàzat: <br /><br /> 1. tàblàzat <br /><br /> + körüljàràsù lèpèsek: 0à1, 1à2, 2à0 <br /><br /> -- körüljàràsù lèpèsek: 0à2, 2à1, 1à0 <br /><br /> Egy kis csomòn gondolkozunk egy nagycsomòt <br /><br /> Èpìtsünk az elemi idomokbòl egy kiterjedtebb teret, amiben a vàltozàsok törtènhetnek. A sakktàblàn is megfigyelt szabàly szerint, össze kell èrinteni a tyùklàb formàjù elemi idomok csùcsait. Szabàlyunk szerint, egyrèszt, minden èrintkezèsi pontban talàlkoznia kell mindhàrom tìpusù csùcsnak, tehàt 0, 1, ès 2 jelünek, màsrèszt, egy idom csùcsai nem èrintkezhetnek egymàshoz. Ez ìgy nagyon egyszerü, az màr csak nyùjtàs, hajtogatàs kèrdèse, hogy szemlèletes rajzokat is kèszìtsünk erröl. Elmèleti ùton is elkèszìthetjük az ilyen terek különfèle megvalòsìtàsait, de annyira könnyü a dolgunk, hogy pròbàlkozàssal is megoldhatja, akinek a 3 mèg nem a sok kategòriàjàba tartozik. A legkisebb ezek közül a 9. àbràn làthatò. 3 idombòl àll, ès 3 helyen, az A, B, C –vel jelzett pontokban èrintkeznek az idomok csùcsai. <br /><br /> 1 0 2 1 2 0 1 2 0 A C B 9. àbra <br /><br /> Ezt az àbràt szokni kell, mert elsö pillantàsra nehezen àttekinthetö, Zavarò lehet, hogy a hàromàgù idomok egyik àgàt (itt az 1-es szàmmal jelölt csùcsponthoz vezetö àgat), be kellett hajlìtani, hogy a màsik kèt idom 0 ill. 2 jelü csùcsàval èrintkezhessen. Az idomok meghajlìtàsa viszont, a csùcspontok kapcsolatait nem szünteti meg, ìgy ha a 8. àbràn làthatò magànyos idomon begyakoroltuk a lèpegetèst, akkor itt sem okoz gondot a közlekedès a tèr A, B, C pontja között. Ebben a tèrben is az 1. tàblàzatban felsorolt a 6 lèpèslehetösèg van, annyi az eltèrès, hogy itt mind a 6 lèpèst az A, a B ès a C pontbòl kiindulva is megtehetjük, tehàt mindegyik 3 vàltozatban lètezik. A sìkbeli àbràzolàsnàl elkerülhetetlen a vonalak àtkeresztezödèse, ezèrt eltèrö vonaltìpussal rajzoltam a hàrom egymàshoz kapcsolt idomot, hogy könnyebb legyen öket megkülönböztetni. Az idom vonaltìpusàval megegyezö keretbe tettem a vègeihez tartozò szàmozàst is. Gyakorlàskènt pròbàljuk ki, hogy pl. a C pontbòl (ami a vèkony vonallal rajzolt idom 0-jelü, a szaggatott idom 1-jelü ès a vastag idom 2-jelü csùcsànak èrintkezèsi helye), milyen lèpèslehetösègek nyìlnak, ès hova vezetnek ezek a lèpèsek. Azt megìgèrem, hogy ez a gondolatmenet messze fog elvezetni, de ennèl gubancosabb àbràval màr nem talàlkozunk. Persze, ezt az àbràt most is csak a magyaràzathoz szüksèges jelölèsek, betük, szàmok, vonaltìpusok bonyolìtjàk el. Ezektöl megtisztìtva, csak egy kis csomò, amit ki is fogunk oldani, hogy ne terhelje tùl a kèpzelötehetsègünket. <br /><br /> Nagyon fontos tudatosìtani magunkban, hogy ez a tèr màr nem az egyedi bèkàk, lepkèk, madarak àllapotvàltozàsait modellezi, hanem àltalànossàgban, a vàltozàsok szabàlyszerüsègeit figyelhetjük meg benne. A vàltozàsok szabàlyszerüsègeit, ès egyùttal a stabilitàs követelmènyeit is. Stabilitàson ugye, nem az örök mozdulatlansàgot èrtjük, hanem a rendszeres visszatèrèst ugyanabba az àllapotba. Màris feltehetjük azt a kèrdèst, hogy az àllandò vàltozàsok közben mi lehet egyàltalàn stabil. Elöször erre a kèrdèsre keressük a vàlaszt a vàltozàstèrben. A kèrdès ennek a tèrnek a nyelvère lefordìtva ìgy szòl: mi annak a feltètele, hogy egy àllapotbòl kiindulva, sorozatos vàltozàsok utàn visszajussunk a kezdeti àllapotba, vagyis, a tèr egyik pontjàbòl indulò lèpèssorozatok közül melyek vezetnek vissza a kiindulòpontba. <br /><br /> Bàrmely csùcspontbòl 1 lèpèssel nyilvànvalòan egy màsik csùcspontba jutunk, tehàt, 1 lèpèssel sohasem èrkezhetünk vissza a kiindulòpontba. <br /><br /> Az is nyilvànvalò, hogy bàrmelyik csùcspontbòl indìtott 2 lèpèssel visszajuthatunk a kiindulòpontba, mivel ha 1 lèpèssel valamely màsik csùcspontba èrkezünk, akkor legalàbb ennek a lèpèsnek a fordìtott irànyù megtètelèvel visszajutunk a kiindulàsi helyünkre. Be is làthatjuk, ès könnyen le is ellenörizhetjük a 9. àbràn, hogy nem csak az elsö lèpès megfordìtottja vezet bennünket vissza a kiindulòpontba, hanem àltalànosan igaz, hogy az 1. tàblàzatban felsorolt lèpèsek bàrmelyikènek a megtètele utàn, bàrmelyik vele ellentètes körüljàràsi irànyù lèpèst megtève, visszajutunk a kiindulòpontba. Söt, az is igaz, hogy bàrmely kèt, egymàssal ellentètes körüljàràsi irànyù lèpès mindig visszajuttat bennünket a kiindulòpontba - a kèt lèpès sorrendjètöl függetlenül. Ha a kèt lèpès nem 1 pozitìv ès 1 negatìv, akkor viszont, sohasem vezet vissza a kiindulòpontba. A vàltozàsok terèben megtalàltuk tehàt a vàltozàsoknak egy olyan mintàzatàt, ami stabil dolgot ìr le. <br /><br /> Az elözöböl következik, hogy 3 lèpèssel akkor, ès csakis akkor èrkezünk vissza a kiindulòpontba, ha ez a 3 lèpès egyezö körüljàràsi irànyù – a 3 lèpès sorrendjètöl függetlenül. Talàltunk tehàt, egy màsik tìpusù stabilitàst eredmènyezö lèpèsmintàzatot is. <br /><br /> Ezutàn, a több lèpèsböl àllò lèpèssorokat nem kell megvizsgàlnunk, mert minden hosszabb, 4, 5, 6, 7,… lèpèsböl àllò lèpèssor felbonthatò 2 vagy 3 lèpèsböl àllò rèszekre, azokròl pedig, az elöbb màr eldöntöttük, hogy mely esetben vezetnek stabilitàshoz. Következèskèppen, minden hosszabb lèpèssorròl eldönthetjük, hogy visszavezetnek-e a kiindulòpontba. <br /><br /> Minden dolog, ami egyàltalàn stabilan lètezhet, nem màs, mint a vàltozàsokban fellelhetö àllandòsàg. Megàllapìthatjuk, hogy a legegyszerübb vàltozàsok terèben kètfèle körüljàràsi irànnyal jellemezhetö lèpès talàlhatò, 3 pozitìv körüljàràsi irànyù ès 3 negativ körüljàràsi irànyù lèpès. Kètfèle tìpusù stabil entitàs lètezhet. Az egyik tìpus 1 pozitìv ès 1 negatìv körüljàràsi irànyù lèpèsböl, a màsik tipus pedig 3 egyezö körüljàràsi irànyù lèpèsböl èpül fel. Az elöbbiek együttes szögelfordulàsa az idom közèppontja körül: -- 1/3 + 1/3 = 0, az utòbbiakè: 1/3 + 1/3 +1/3 = 1, ill. -- 1/3 – 1/3 – 1/3 = --1. Ezek a következmènyek a vàrakozàsainknak is megfelelnek, ès a jòzan èsznek semmikèpp sem mondanak ellent. Mindenfèle tèrkonstrukciò nèlkül is ugyanilyen gondolatokra juthatunk, mert nyilvànvalò, hogy bàrmilyen dolog addig lètezik szàmunkra, ameddig megörzi a reà jellemzö tulajdonsàgokat. A tulajdonsàgok pedig, akàr elemiek, akàr összetettek, nem vonhatjàk ki magukat az àllandò vàltozàs alòl. Ha lèteznek elemi tulajdonsàgokkal jellemzett dolgok, akkor a vàltozàs csak azt jelentheti, hogy ezek àtalakulnak valami màssà. Amennyiben a tovàbbi vàltozàsok nem alakìtjàk vissza öket az eredeti àllapotba, akkor ezek a dolgok nem stabil jelensègek. Ha viszont, a megvàltozàs utàn ùjra ès ùjra visszatèrnek az eredeti àllapotukba, akkor stabilnak èrzèkeljük öket. A legstabilabb dolgok olyanok, hogy a vàltozàst követö lèpèsben rögtön vissz is vàltoznak, tehàt oda-vissza alakulnak 2 lèpèsben. Az eredeti tulajdonsàg ùgy is visszaàllhat, hogy az àllapot megvàltozàsàt ùjabb vàltozàs követi, ès csak ezutàn, tehàt a 3. lèpèssel tèr vissza az eredeti àllapot. Azt màr a vàltozàstèrre nèzve làttuk be, hogy az elöbbi kèt alaptìpusra visszavezethetö a többi, stabilitàst adò vàltozàssorozat is. Mindez teljes összhangban van a hètköznapi tapasztalatainkkal, semmi felfoghatatlan sincs benne. A vàltozàsok terènek megszerkesztèse csak fogòdzòt ad a tovàbbgondolàshoz. <br /><br /> Egy csomò csomò <br /><br /> A 3-àllapotù elemekböl összeàllìthatò terek közül a legkisebbel foglalkoztunk, aminek az a sajàtossàga, hogy az A, B, ès C pontokban, ahol az alkotòelemek csùcsai egymàssal èrintkeznek, hiànytalanul megtalàlunk a 0, 1 ès 2 szàmot viselö csùcsok mindegyikèböl egyet-egyet. Ezèrt mondhatjuk, hogy ez a kis tèr a szokàsos, kèt vègü szakaszokbòl, nyaklànc szerüen körbekapcsolt szerkezet analògja – hàromvègü szakaszokbòl megvalòsìtva. Tehàt, ez egy 3-vègü elemekböl összeàllìtott, 1-dimenziòsnak megfelelö, “kör” alakù szerkezet, mègpedig azok közül a legkisebb. Többfèlekèppen tovàbb bövìthetjük ezt a teret. Növelhetjük a dimenziòk szàmàt, vagy az elemek vègpontjainak a szàmàt, amit kombinatorikai ùton nem is nehèz megtenni. Egyelöre csak a tèr kiterjedèsèt növeljük meg, a dimenziòjàt ès az alapelemeit vàltozatlanul hagyva. Ezt legegyszerübben ùgy tehetjük, ha mindhàrom elem 1-es szàmmal jelölt vègpontjàt felszabadìtjuk, azaz megszüntetjük az èrintkezèsüket a többi csùccsal, ès ìgy a 10 / A àbràn làthatò elrendezèsböl a 10 / B àbra alakzatàt kapjuk. A C B 1 1 1 2 2 0 2 0 0 <br /><br /> A C B <br /><br /> 10 / B àbra 10 / A àbra <br /><br /> Ebben a hàrom elemböl àllò gyürüben az elemek 1-es szàmù vègei szabadon àllnak, nem èrintkeznek màs csùcspontokkal. Az A, B, C èrintkezèsi pontokban pedig, ezutàn termèszetesen csak 0 ès 2-es sorszàmù vègpontok èrintkeznek egymàssal. A tèrkitöltèsi szabàly akkor teljesül ismèt, ha több, ugyanilyen gyürüalakzatot kapcsolunk össze èvgyürü szerüen, mint a 11. àbràn. 1 1 1 2 2 0 2 0 0 1 1 1 2 2 0 2 0 0 11. àbra <br /><br /> Tetszölegesen sok gyürüvel bövìthetjük ìgy a teret kifelè haladva ès ugyanìgy az àbra közepe felè is megtehetnènk ugyanezt, ahogyan a 12. àbra vàzlatosan mutatja. Bàrmelyik kör utàn hozzàkapcsolhatjuk a szabadon àllò 1-es szàmù vègeket a legbelsö gyürühöz, ahol az èrintkezèsi pontokbòl hiànyoznak az 1-es vègpontok. Sajnos, a sìkàbràzolàs a mèretek torzìtàsàra kènyszerìt, koncentrikusan befelè haladva egyre kisebb mèretben kell lerajzolni ugyanazokat az idomokat, hogy àtlàthatò maradjon az àbra, de kèpzeljük el ùgy, hogy ez valòjàban egy 3-dimenziòs tèrbeli alakzat kèpe. Minden idom egyenlö mèretü, ès mintha egy mèly kùtba nèznènk le, a perspektìva beszükìti a közèpsö gyürüket. Gondoljuk el egy hengerkènt, aminek az oldalfalàt alkotja ez a hàlòzatos rajzolat, a minta alapegysègei pedig az egyenlö mèretü idomok. Ha egyszer magad elè tudod kèpzelni hengeralakban, akkor làtod, hogy a kèt vège èppen egymàshoz illik. A csö egyik vègèn a hàrom magànyos, 1-es jelü pont nem kapcsolòdik semmihez sem,, a csö màsik vègèn pedig èppen ezek hiànyoznak. A csö kèt vègèt egymàshoz kapcsolva, tökèletesen kiegèszìtik egymàst, ès egy ùszògumi formàjù tèr keletkezik. Ugyanezt megcsavargatva is megtehetjük vele, mert ez egy olyan jàtèkszer, ami rengetek különbözö alakot vehet fel. <br /><br /> A tèr makettjèt animàciò nèlkül nem tudom 3-dimenziòban itt bemutatni, ezèrt ezt a sìkba lapìtott tèrkèpèt fogom hasznàlni, ami a sèmànak megfelelöen, tetszès szerint tovàbb bövìthetö ùjabb gyürükkel. Kèpzeletünk elè persze, nem àllìt akadàlyt a papìr, ès egy kis gyakorlàs utàn magunk elött làthatjuk a lap sìkjàbòl kilèpö, hengerszerü teret. <br /><br /> 12. àbra <br /><br /> Tovàbbra is az 1. tàblàzatban felsorolt 6 lèpèslehetösègünk van, de megint munka van velük, mert ebben a kiterjedt tèrben egèszen ùj arcukat mutatjàk, ès ezt adminisztràlni kell. Màr nemcsak az idomok központja körül forgolòdnak, hanem eközben, az idomokbòl megszerkesztett tèrben is vàndorolni kezdenek – ès mindegyik màsfelè. <br /><br /> Azt a 3 lèpèst, amelyek pozitìv körülfordulàssal jàrnak az idomok közèppontja körül, az idomok vàza mentèn hùzott, vèkony nyilakkal jelzem a 13. àbràn. Be is szìneztem öket, de ezzel egyelöre ne törödjünk, csak azt kövessük nyomon, hova tartanak. Szerencsère, elegendö a pozitìv lèpèseket megvizsgàlni, mert a negatìv lèpèsek ezeknek pontosan a tükörkèpei. Az idomok 0 jelü vègpontjàbòl az 1 jelü vègpontjàba, az 1 jelü vègpontbòl a 2 jelü vègpontba ill. a 2 jelüböl a 0 jelübe irànyulò, pozitìv körüljàràsù lèpèsekröl van szò, ahogyan ezt az 1. tàblàzat màr rögzìti. Ezek eddig egyenèrtèkünek tüntek, de kiterjesztett tèrben ùj, megkülönböztetö tulajdonsàgokat veszünk èszre közöttük. Minden 0 à1 lèpèssel kifelè mozdulunk a központbòl, ès egyùttal kissè el is fordulunk körülötte. Az 1 à2 lèpèsek viszont közelìtenek a központhoz, miközben fordulnak is körülötte. A 2 à0 lèpèsekkel pedig, se közelebb, se tàvolabb nem kerülünk az àbra közepètöl, de egy nagy fordulatot vègzünk körülötte a màsik kèt lèpès irànyàval ellentètesen. <br /><br /> 2 2 0 2 0 0 1 1 1 1 0 2 1 2 0 1 2 0 <br /><br /> 13. àbra <br /><br /> Kètfèle jellemzö elmozdulàsuk szerint különböztethetjük meg, ès tarthatjuk nyilvàn a lèpèseket. Az egyik a tàvolodàs / közeledès az àbràzolt tèr közèppontjàtòl (tàvolodàs), a màsik pedig a közèppont körül vègzett szögelfordulàs (elfordulàs). A tàvolodàst akkor hìvjuk pozitìvnak, ha kifelè irànyul, az elfordulàst pedig akkor, ha az òramutatò jàràsàval ellentètes irànyù. A tàvolodàs egysègènek vàlasszuk a 12. ès 13. àbràn egyforma szìnü, szomszèdos pontok közötti tàvolsàgot, az elfordulàs egysègènek pedig az 1 kör elfordulàst. Minden lèpèst egyèrtelmüen meghatàroz a hozzà tartozò elfordulàs ès tàvolodàs èrtèk. Ezek szerint, pl. a 0 à1 lèpès +1/6 kör elfordulàssal ès +1/2 tàvolodàssal jàr. Minden lèpès jellemzöit összefoglalja a 2. tàblàzat. Èrdemes egyenkènt leellenörizni, akkor kiderül, èrted-e, hogy miröl beszèlek. 2. táblázat. + körüljárási irányú lépések jellemzői .............- körüljárási irányú lépések jellemzői lépés... fordulat... távolodás... ford.+táv....... lépés... fordulat ...távolodás... ford.+táv. .0-1....... +1 / 6...... + 1 / 2........ + 2 / 3.......... ...1-0 .....- 1 / 6 .......- 1 / 2 .........- 2 / 3 .1-2....... +1 / 6...... - 1 / 2......... - 1 / 3............. 2-1 .....- 1 / 6 .......+ 1 / 2 .........+ 1 / 3 .2-0....... -1 / 3............ 0........... - 1 / 3............. 0-2 .....+ 1 /3 .............0 ...........+ 1 / 3 Olyan èrzès motoszkàlhat valakiben, hogy az àrtatlan gondolotok nyomàt követve, mintha komolyabbra fordult volna, ami jàtèknak indult, ès valami ismeretlen tàjra tèvedtünk, miközben Jancsi lepkèt kergetett, Juliska viràgot szedett… – pedig nem is. Csak a sok szàm teszi, ami nèha elöbukkan ìgy, a semmiböl, de egyik sem harap, csak alaposan megdolgoztat. <br /><br /> A hirtelen keletkezett tàgassàgban làtszòlag összevisszasàg uralkodott el a vàltozàsokon, a vàltozàsokat jelkèpezö nyilak szanaszèt szòròdtak a tèrben. Làssuk elöször nagyobb lèptèkben ezt a mini Univerzumot, hogy legyen egy àtfogò kèpünk a szerkezetèröl. Elöször is, az törtènt, hogy megsokszorozòdva làtjuk viszont az eredeti kis csomò pontjait. Mindegyik csomòpont egy külön egyenesen szòròdott szèt az ùj tèrben. Az eredeti 3 pont utòdai most 3 egyenesre illeszkednek, ès ha a kiterjedt terünknek a 12. àbràn egyformàra szìnezett pontjait egyesìtjük, akkor visszakapjuk a csomòt, aminek csak 3 pontja van. <br /><br /> A nyilakkal jelkèpezett lèpèsek szintèn megsokszorozòdtak. A 0 à1 jelzèsü nyilak hàrom jobbmenetü, az 1 à2 jelzèsü nyilak pedig hàrom balmenetü csigavonalban csavarodnak a közèppont körül, mint egy galaxis spiràlkarjai. A 2 à0 lèpèsek màskènt viselkednek. 3 lèpèsböl àllò, koncentrikus gyürüket alkotnak a közèppont körül. A hàrom, negativ körüljàràsù lèpèssel nem foglalkozom külön, mert azok az elöbbiek tükörkèpei. A teret hengerkènt elkèpzelve, a 0 à1 ès 1 à2 lèpèsek kùszònövènykènt tekerednek fel rajta, jobb- ill. balmenetes csavarvonalban, a 2 à0 lèpèsek viszont gyürüket formàlnak a henger törzsèn. <br /><br /> Minthogy az eredeti csomò pontjai egyeneseken szòròdtak szèt, a stabilitàsnak a kiterjesztett tèrben az a jelentèse, hogy a vàltozàsoknak megfelelö lèpèssorozatok ugyanarra az egyenesre èrkeznek vissza, mint amelyikröl kiindultak. Ez egèszen pontosan azt jelenti, hogy kèt, ellentètes körüljàràsù lèpèst megtève, a kiindulàsi- ès az èrkezèsi pont mindig ugyanazon az egyenesen talàlhatò. Ugyanezt tapasztaljuk bàrmelyik hàrom, azonos körüljàràsù lèpès megtètele utàn is. Lènyeges, hogy minden màs lèpèskombinàciò viszont, a kiindulàsi egyenestöl különbözö egyenesre vezet. Ugyancsak èrvènyben marad, hogy a lèpèssorozatok vègpontja nem vàltozik attòl, hogy a lèpèsek sorrendjèt megvàltoztatjuk. <br /><br /> Egy idomon belül az azonos körüljàràsù lèpèsek egyenrangùak, ès egyenrangùak az idomokbòl szerkesztett csomòban is. <br /><br /> A kiterjesztett tèrben viszont a 0 à1 ès az 1 à2 lèpès között a tàvolodàs èrtèk különbsèget tesz, mìg a 2 à0 lèpès a tàvolodàs èrtèkèben, a körülfordulàs irànyànak elöjelèben ès nagysàgàban is különbözik a màsik kèt lèpèstöl. A tèr kiterjesztèse tehàt, az egyenrangù lèpèseket megosztotta kèt “kissè eltèrö” 0 à1 ès 1 à2, valamint egy tölük “nagyon eltèrö” 2 à0 lèpèsre. <br /><br /> A 3. tàblàzatban rendszereztem a 3-lèpèsböl àllò összes lèpèskombinàciòt, ami a kiterjesztett tèrben “stabil”, tehàt a tèrnek ugyanarra az àtlòs egyenesère vezet vissza, mint amelyikröl indul. A lèpèskombinàciòk lèpèsösszetètele zàròjelben àll. Az öket jellemzö tàvolodàs+elfordulàs összeget mindegyik fölè odaìrtam. A lèpèskombinàciòkat külön sorokba rendeztem a bennük talàlhatò 2 à0 lèpèsek szàma szerint. Az alsò sorba azok kerültek, amelyekben nincs ilyen lèpès, a következö sorba azok, amelyekben 1 , aztàn 2, vègül a legfelsö sorban àllò màr csak ilyen lèpèseket tartalmaz. 3. tàblàzat .......... -1 ..(2-0, 2-0, 2-0) ........... 0 ......................-1 (2-0, 2-0, 0-1), ....(2-0, 2-0, 1-2) ..........+1 .......................0 ......................-1 .(2-0, 0-1, 0-1), ...(2-0, 0-1, 1-2), ....(2-0, 1-2, 1-2) ..........+2 .....................+1 ........................0 .......................-1 ..(0-1, 0-1, 0-1), ..(0-1, 0-1, 1-2), ....(0-1, 1-2, 1-2), ...(1-2, 1-2, 1-2) Aki nem hiszi, jàrjon utàna, ès ellenörizzen! A 2. tàblàzatban megtalàlhatò hozzà az egyes lèpèsek minden adata, amiket külön is jò leellenörizni a 12. àbra ès a 13. àbra tèrkèpèn. Egyùttal azt is belàthatjuk, hogy a stabil lèpèskombinàciòk pontosan azok, amelyeknek a lèpèseihez tartozò tàvolodàs ès elfordulàs tört èrtèkei együtt egèsz szàmot adnak. <br /><br /> A csomòszerü kis tèrben a tàvolodàsnak mèg nincs èrtelmezve, mert semelyik lèpèssel sem tàvolodhatunk el a rendszer közèppontjàtòl. Az eltàvolodàs lehetösège ùgy keletkezett, hogy az idomok 1-es jelü vègeit felnyitottuk, ès egy következö övezethez kapcsoltuk, amint a 10/A, 10/B ès 11. szàmù àbràkon nyomonkövettük. A csomò felnyitàsa nèlkül a 0 à1 ès 1 à2 lèpèsek tàvolodàs èrtèke 0 , ìgy eltünik az egyetlen különbsèg is közöttük, ès teljesen megkülönböztethetetlenek. Èrtsd ezt ùgy, hogy teljesen azonosak, aminek az a furcsa következmènye, hogy az egyik kivàlasztàsàval, egyùttal a màsikat is kivàlasztjuk, mert azonosak. Az azonossàguk miatt összeragadt 0 à1 ès 1 à2 lèpèsre a (x-x-x-x) jelölèst bevezetve, a stabil lèpèskombinàciòk listàjàt kibövìthetjük az eredeti, felnyitatlan csomòn megvalòsulò 3-lèpèses kombinàciòkkal, ahol 0 à1, 1 à2, ill. 2 à0 lèpèsekkel tàrsul az (x-x-x-x). Ezeket is a bennük talàlhatò 2 à0 lèpèsek szàma szerint rendeztem sorba, fölèjük ìrva a tàvolodàs+elfordulàs összegeket a 4. tàblàzatban. 4. tàblàzat ...........0 ..(x-x, x-x, 2-0) ...........+1 .........................0 ..(x-x, x-x, 0-1), .....(x-x, x-x, 1-2) Ne feszegessük tovàbb A tèr felnyitàs elötti àllapota egy külön vilàg. A 9. àbra pontosan bemutatja, hogy a zàrt csomòban megtehetö lèpèsekkel sohasem tàvolodunk el a rendszer közèppontjàtòl, viszont elfordulunk a központ körül 1/3 ill. 2/3 körrel. Tehàt, itt olyan ùjabb lèpèsek vannak, amelyeknek tàvolodàs èrtèke 0, az elfordulàs èrtèkük pedig 1/3, ill. 2/3, ès az ellenkezö irànyù lèpèsekhez pedig, az ellenkezö elöjelelü èrtèkek tartoznak. Az is làthatò, hogy a kiterjesztett tèrben pl. az azonos pontbòl indìtott 0 à1, 0 à1, 1 à2 lèpèssorozat ès a 0 à1, 0 à1, 1 à2 lèpèssorozat vègpontja között 1 tàvolodàs ès 0 elfordulàs a különbsèg. Ezekkel az èrtèkekkel jellemezhetö ùj lèpès bevezetèse megoldja a kèt lèpèssorozat egymàsba alakìtàsàt. Làthatjuk, hogy egy ilyen lèpès egyenèrtèkü az idomok “felfelè àllò” vègeinek “lefelè” fordìtàsàval, amihez egy ùjabb tengely körüli elfordulàst kell csak engedèlyezni a tèrszerkezetben. Nagyon csùnya dolognak làtszik, hogy rendszeresen tàvolodàst ès szögelfordulàst adogattam össze. Nem összemèrhetö dolgokkal komolyan nem szabad ilyet csinàlni. Azèrt mertem ezt megtenni, mert a tèrszerkezetet àtalakìthatjuk olyannà, amiben a gyürüket alkotò 2 à0 lèpèsek hèlixszè kapcsolòdnak össze. Ha ezt ùgy tesszük, hogy a csavarvonal emelkedèse körönkènt 1 egysèg legyen, akkor az elfordulàst tàvolodàssà vàltjuk àt, ès a tàvolodàs+elfordulàs összeg teljes egèszèben elmozdulàskènt jelentkezik. <br /><br /> Ezeket a gondolatsorokat màr nem futtatom tovàbb, hiszen csak az volt a cèlom, hogy nèhàny lèpèsben, egy-kèt àbràn bemutassam, hogyan èpül fel gondolkodàsunk legegyszerübb elemeiböl a vilàg. Milyen termèszetes egyszerüsèggel nöhetnek ki az elemi szerkezetre vonatkozò elkèpzelèseink a gondolkodàsi sèmàink talajàbòl. <br <br /><br /> Szìnesìtsük mèg egy kicsit <br /><br /> Szìnezzük mèg az eddig kialakult kèpet! A tèrszerkezetnek az a különös tulajdonsàga, hogy a vàltozàsi lèpèseket jelölö nyilak kiszìnezhetöek 3 szìnnel ùgy, hogy bàrmelyik 3, irànyfolytonosan egymàst követö nyìl különbözö szìnü legyen. Nevezzük el az ilyen utakat szìnsemlegesnek. Az irànyfolytonossàg termèszetesen azt is jelenti, hogy ezek azonos körüljàràsi irànyù lèpèsek. Ezekböl adòdik, hogy ebben a tèrben pontosan a stabil lèpèssorozatok, ès csakis azok a szìnsemlegesek. A 13. àbràn kiszìneztem a lèpèseket jelentö nyilakat, ès a szìnezès folytathatò bàrmennyi övezetre kiterjedöen. <br /><br /> A cikk àbrài mind nagyon egyszerüek. Gondoljunk most vissza arra, hogy milyen kevès egyszerü szabàly alapjàn rajzoltam meg öket. Amit viszont magukban hordoznak, annak szòbeli kifejtèse nagyon sok oldalt tesz ki, ès egy egèsz, szemünk elöl elrejtett vilàg összefüggèseit teszik làthatòvà. Ezeket a kèpeket egèszen kicsi korunktòl kezdve elöttünk rajzolgatja a termèszet, ès tanìt az egyszerü szabàlyaira. Nem egyetemi szintü tudàsanyag lenne, hanem òvòdàsoknak valò. Sajnos, arra szocializàl bennünket a tàrsadalom, hogy oldòdjunk fel egy kollektìv öntudatlansàgban. Azt tudjuk, amit a többiek tudnak, azt làssuk, amit màsok is làtnak. Egyfajta vaksàg pusztìt, ès tènyleg kèptelenek vagyunk meglàtni, ami a sajàt szemünk elött van, amìg megerösìtèst nem kapunk erre. Ez fel sem tünik, mint ahogy vakon született embernek sem tünik fel, hogy nem làt, amig nem figyelmeztetik. Felnött korunkra a sajàt làtàsunkkal együtt, elveszìtjük önmagunkat is. Azt gondolom, sokkal több idöt kellene a civilizàciòbòl kiszakadva, hàborìtatlanul eltöltenünk a termèszetben, figyelni azokra az egyszerü dolgokra amikre ès amikkel tanìt, ès visszaszerezni a làtàs kèpessègèt. Vàlasztottam egy szèp verset az örök termèszetröl, ahol szeretek sok idöt tölteni, mert mindig mesèl valamiröl, csak hallgatni kell. Itt van az ősz, itt van ujra... (rèszlet) Itt van az ősz, itt van ujra, S szép, mint mindig, énnekem. Tudja isten, hogy mi okból Szeretem? de szeretem. Kiülök a dombtetőre, Innen nézek szerteszét, S hallgatom a fák lehulló Levelének lágy neszét. ............ Én ujjam hegyével halkan Lantomat megpenditem, Altató dalod gyanánt zeng Méla csendes énekem. - Kedvesem, te űlj le mellém, Ülj itt addig szótlanúl, Míg dalom, mint tó fölött a Suttogó szél, elvonúl. Ha megcsókolsz, ajkaimra Ajkadat szép lassan tedd, Föl ne keltsük álmából a Szendergő természetet. Petőfi Sàndor Köszönet Ez a kivonat a Gyermek titkos tudomànya c. jegyzetfüzetem egyik tèmàja alapjàn kèszült. A jegyzetfüzet megìràsàhoz 1998-ban Jeanfranco de Bellis (Basel) nyùjtott minden körülmènyre kiterjedö teljes tàmogatàst. A kivonat elkèszìtèsèhez jelenleg Hansjürg Hess (Glarus) biztosìtotta a feltèteleket. Köszönöm az önzetlen segìtsègüket, ès köszönöm Wild Flowernek, hogy a cikk àbràit nem kis munkàval, beilleszthetö formàba hozta. | |
| Kategória: Tudomány, technika | Hozzáadta:: korhely (2012-05-31) | |
| Megtekintések száma: 921 | Hozzászólások: 4 | |
| Összes hozzászólás: 4 | ||||
| ||||
